Unité d'Enseignement Analyse Hilbertienne et complément d'intégration - 

Année 2020-2021 :



Cours du vendredi 29 janvier 2021.
Aujourd'hui, nous avons commencé le chapitre sur les séries de Fourier. Tout d'abord en présentant le point de départ de la motivation de Joseph Fourier, la résolution de l'équation de la chaleur.
Nous avons fait quelques rappels sur les différentes convergences des séries de fonctions.
Nous avons parlé de l'ensemble des polynômes trigonométriques et des séries exponentielles puis trigonométriques. Et de leur relation.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici . Et le fichier pdf des notes de cours.

Cours du vendredi 5 février 2021.
Aujourd'hui, nous avons étudié la convergence de séries trigonométriques.
Nous avons présenté les idées de la transformation d'Abel (analogue de l'intégration par parties pour des sommes finies)
Produit scalaire sur l'ensemble des fonctions 2\pi-périodiques, bornées, intégrables. La famille des $(e_k)_{k\in \Z}$ (les fonctions exponentielles) est une famille orthonormale pour ce produit scalaire. On retrouve les coefficients des polynômes trigonométriques en prenant le produit scalaire avec les $e_k$.
Nous avons défini les coefficients de Fourier associées à une fonction $f$, ainsi que la série de Fourier associée à $f$ (aussi bien exponentielle que trigonométrique).
Nous avons présenté différentes questions concernant la série de Fourier d'une fonction $f$.
Vous trouverez tout cela dans le fichier pdf des notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Vous trouverez dans ce fichier les théorèmes essentiels concernant la convergence de la série de Fourier associée à une fonction $f$.

Cours du vendredi 12 février 2021.
Aujourd'hui, nous avons présenté les théorèmes de convergence de la série de Fourier (trigonométrique ou exponentielle) associée une fonction $f$ 2\pi-périodique, intégrable, bornée :
Parseval, convergence normale, et convergence ponctuelle (théorème de Dirichlet). Voir le fichier .
Nous avons démontré que pour une fonction 2\pi-périodique, l'intégrale entre 0 et 2\pi est identique à celle sur n'importe quel intervalle de longueur 2\pi. Une conséquence simple concerne le calcul des coefficients de Fourier lorsque la fonction $f$ est paire (respectivement impaire)
Nous avons démontré que pour toute $f$ 2\pi-périodique, intégrable, bornée, $\lim_{n\to +\infty} c_n(f) = 0$
Nous avons établi la relation entre c_n(f') et c_n(f) lorsque $f$ est continue sur $\R$ et $C^1$ par morceaux. Nous en avons déduit la convergence normale de la série de Fourier dans ce cas.
Nous avons établi l'inégalité de Bessel.

Tout cela se trouvait dans la feuille d'exercices à préparer pour aujourd'hui.
Vous trouverez tout cela dans le fichier pdf des notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .


Cours du vendredi 19 février 2021.
Voici l'exercice à préparer pour ce vendredi 19 février. Il s'agit de la preuve du théorème de Weierstrass. C'est un résultat très important de la théorie des séries de Fourier. Mais vous remarquerez que le polynôme trigonométrique approximant la fonction continue $f$ n'est pas le polynôme trigonométrique défini par la série de Fourier. Il a fallu avoir une autre idée !
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Documents distribués en 2019-2020 :

Liste de questions de cours . Il y aura à chaque épreuve au moins une de ces questions. Le reste du cours est aussi à connaître parfaitement.
Feuille de TD 1 : Classiques
Feuille de TD 2 : Approximations de l'unité. Théorème de Weierstrass
Feuille de TD 3 : Inégalité de Bessel
Résumé du cours : Synopsis
Partiel du 23 mars : le sujet
Son corrigé pour faire votre auto-correction : à vous de jouer
Le programme de la semaine du 23 au 29 mars avec quelques rappels en dimension finie : à télécharger
Feuille de TD 4 : Produit scalaire et son corrigé
Le programme de la semaine du 30 mars au 5 avril : à télécharger
Feuille de TD 5 : Produit scalaire et son corrigé
Devoir sur les polynomes de Tchebychev et autres polynomes orthogonaux
Le corrigé du devoir sur les polynomes de Tchebychev et autres polynomes orthogonaux et un lien bien utile pour savoir beaucoup de chose concernant les polynomes de Tchebychev
Le premier cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le second cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le troisième cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le quatrième cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le cinquième cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le sixème cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Feuille de TD 6 : Transformée de Fourier et son corrigé . Et la suite du corrigé . Encore une suite du corrigé
Et enfin, pour conclure, un retour à notre premier cours et à l'explication de la résolution de l'équation de la chaleur . C'est un des exemples phares de cette théorie de Fourier !

L'examen du 8 juin de 14h à 16h est ci-dessous :


Le sujet .

Documents distribués en 2018-2019 :


Voir le dossier Archives .