Unité d'Enseignement Analyse Hilbertienne et complément d'intégration - 

Année 2020-2021 :

Liste de questions de cours . Il y aura à chaque épreuve au moins une de ces questions. Le reste du cours est aussi à connaître parfaitement.


Cours du vendredi 29 janvier 2021.
Aujourd'hui, nous avons commencé le chapitre sur les séries de Fourier. Tout d'abord en présentant le point de départ de la motivation de Joseph Fourier, la résolution de l'équation de la chaleur.
Nous avons fait quelques rappels sur les différentes convergences des séries de fonctions.
Nous avons parlé de l'ensemble des polynômes trigonométriques et des séries exponentielles puis trigonométriques. Et de leur relation.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici . Et le fichier pdf des notes de cours.

Cours du vendredi 5 février 2021.
Aujourd'hui, nous avons étudié la convergence de séries trigonométriques.
Nous avons présenté les idées de la transformation d'Abel (analogue de l'intégration par parties pour des sommes finies)
Produit scalaire sur l'ensemble des fonctions 2\pi-périodiques, bornées, intégrables. La famille des $(e_k)_{k\in \Z}$ (les fonctions exponentielles) est une famille orthonormale pour ce produit scalaire. On retrouve les coefficients des polynômes trigonométriques en prenant le produit scalaire avec les $e_k$.
Nous avons défini les coefficients de Fourier associées à une fonction $f$, ainsi que la série de Fourier associée à $f$ (aussi bien exponentielle que trigonométrique).
Nous avons présenté différentes questions concernant la série de Fourier d'une fonction $f$.
Vous trouverez tout cela dans le fichier pdf des notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Vous trouverez dans ce fichier les théorèmes essentiels concernant la convergence de la série de Fourier associée à une fonction $f$.

Cours du vendredi 12 février 2021.
Aujourd'hui, nous avons présenté les théorèmes de convergence de la série de Fourier (trigonométrique ou exponentielle) associée une fonction $f$ 2\pi-périodique, intégrable, bornée :
Parseval, convergence normale, et convergence ponctuelle (théorème de Dirichlet). Voir le fichier .
Nous avons démontré que pour une fonction 2\pi-périodique, l'intégrale entre 0 et 2\pi est identique à celle sur n'importe quel intervalle de longueur 2\pi. Une conséquence simple concerne le calcul des coefficients de Fourier lorsque la fonction $f$ est paire (respectivement impaire)
Nous avons démontré que pour toute $f$ 2\pi-périodique, intégrable, bornée, $\lim_{n\to +\infty} c_n(f) = 0$
Nous avons établi la relation entre c_n(f') et c_n(f) lorsque $f$ est continue sur $\R$ et $C^1$ par morceaux. Nous en avons déduit la convergence normale de la série de Fourier dans ce cas.
Nous avons établi l'inégalité de Bessel.

Tout cela se trouvait dans la feuille d'exercices à préparer pour aujourd'hui.
Vous trouverez tout cela dans le fichier pdf des notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .


Cours du vendredi 19 février 2021.
Voici l'exercice à préparer pour ce vendredi 19 février. Il s'agit de la preuve du théorème de Weierstrass. C'est un résultat très important de la théorie des séries de Fourier. Mais vous remarquerez que le polynôme trigonométrique approximant la fonction continue $f$ n'est pas le polynôme trigonométrique défini par la série de Fourier. Il a fallu avoir une autre idée !
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Lundi 1er mars 2021.
J'ai fait quelques tutos contenant les corrigés de quelques exercices de la feuille de TD 1 distribuée en 2019-2020 .
Voici le tuto contenant la correction de l'exercice 4.
Voici le tuto contenant la correction de l'exercice 5-1.
Voici le tuto contenant la correction de l'exercice 5-2.
Les suivants permettent d'obtenir d'autres résultats sympathiques. A vous de jouer et de trouver avec l'exercice 5-5 la valeur de $$ \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{(-1)^j}{(2j+1)^3}, $$ de $$ \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(2j+1)^6}, $$ puis de $$ \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{j^6}. $$ Les autres sont un peu plus techniques et sont à faire dans un second temps.
Pour finir, vous trouverez le fichier pdf contenant les solutions écrites.

Cours du vendredi 5 mars 2021.
Dans ce dernier cours sur les séries de Fourier, nous avons prouvé (enfin) les théorèmes de convergence de la série de Fourier associée à f vers la fonction f :
- même dans le cas d'une fonction continue sur R et C^1 par morceaux, nous avions seulement prouvé que la série de Fourier associée à f était normalement convergente sur R. Il nous manquait encore la valeur de la limite. Grâce au théorème d'approximation de Weierstrass, nous avons pu démontrer que l'application qui à une fonction associe la suite de ses coefficients de Fourier est injective sur l'ensemble des fonctions continues.. Ce qui nous a permis de prouver que lorsque f est une fonction continue sur R et C^1 par morceaux, sa série de Fourier converge vers f, uniformément sur R
- dans le cas très général, nous avons prouvé que la série de Fourier de f converge vers f en norme L_2 (et nous avons prouvé l'identité de Parseval). Là encore, le théorème d'approximation de Weierstrass a été très utile, et bien que dans ce théorème, le polynôme trigonométrique ne soit pas la série de Fourier, nous avons prouvé qu'en norme L_2, la meilleure approximation est la série de Fourier !
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Cours du vendredi 12 mars 2021.
Nous avons commencé le cours sur les espaces de Hilbert.
Nous avons défini le produit scalaire sur un espace vectoriel complexe : forme sesquilinéaire, hermitienne, définie positive (et nous avons pris comme convention que la linéarité serait par rapport à la variable de droite).
Nous avons présenté plusieurs exemples et nous avons montré l'inégalité de Cauchy Schwarz dans $\ell_2$.
Nous avons démontré que $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ définit une norme sur l'espace préhilbertien H. Et au passage, nous avons montré l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Nous avons établi l'identité du parallélogramme et quelques autres identités remarquables.
Nous avons commencé à parler d'orthogonalité.
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Lundi 15 mars 2021.
J'ai fait quelques tutos contenant les corrigés de quelques exercices de la feuille de TD complémentaire.
Voici le tuto contenant la correction de l'exercice 1 ainsi que le fichier pdf du corrigé.
Voici le tuto contenant le début de la correction de l'exercice 2.
Dans la dernière question il fallait supposer que z était réel non entier Voici le tuto contenant la correction de la fin de l'exercice 2 ainsi que le fichier pdf du corrigé.
Mardi 16 mars 2021.
Un petit tuto pour refaire la question de cours numéro 2 : montrer que la famille (e_k, k \in Z) est orthonormale pour le produit scalaire sur L_2, et en déduire que la famille infinie (e_k, k \in Z) est libre. Voici le fichier
Voici le tuto

Cours du vendredi 19 mars 2021.
Nous avons parlé d'orthogonalité
Nous avons défini un espace de Hilbert.
Nous avons établi le théorème fondamental de projection orthogonale sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici . (c'est sans le son pour le moment, il y a eu un bug sur la plate-forme). Je reviendrai rapidement sur cette preuve dans le cours de vendredi prochain.

Cours du vendredi 26 mars 2021.
Nous avons repris pendant une1/2 heure le cours de vendredi dernier, afin que vous ayez du son sur les explications. En particulier, nous avons bien revu et réexpliqué la preuve du théorème sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert.
Ensuite, nous avons expliqué les conséquences de ce théorème:
  1. Le théorème de projection orthogonale sur un s.e.v. fermé de H qui permet de définir cette application linéaire, et la caractériser par le fait que cette projection permet de calculer la distance du vecteur x au s.e.v. F
  2. Lorsque F est un s.e.v. fermé de H, on a la décomposition en somme directe de H en F \oplus F^\perp.

Nous avons présenté les propriétés de cette projection orthogonale : linéaire, continue, de norme 1, nous avons déterminé son image et son noyau.
Nous avons présenté l'algorithme d'orthogonalisation de Gram-Schmidt. C'est un procédé extrêmement important lorsqu'on travaille dans un espace de Hilbert. Vous devez lire le fichier que j'avais distribué l'année dernière faisant des rappels en dimension finie et voir le paragraphe 2.
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Cours du vendredi 2 avril 2021.
Vous pouvez commencer par revoir la notion d'application linéaire continue. Voici quelques notes de cours. ainsi qu'un tuto .
Nous avons fait quelques exercices importants sur les orthogonaux de somme d'espaces vectoriels et les intersections d'orthogonaux d'espaces vectoriels.
Nous avons présenté la technique d'orthogonalisation de Gram-Shmidt sur un exemple. Les polynômes orthogonaux forment un vaste sujet. Ceux dont nous avons parlés s'appellent les polynômes de Legendre. Vous pouvez faire le devoir maison de l'année dernière qui concernait les polynômes de Tchebychev. Les polynômes de Hermite forment aussi une famille importante de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire associée à la mesure gaussienne. Vous pouvez aller lire les articles de wikipedia sur ces polynômes ainsi que sur Legendre, Tchebychev et Hermite.
Nous avons discuté de la complétude ou non de certains espaces vectoriels de polynômes.
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Cours du vendredi 9 avril 2021.
Nous avons débuter le chapitre concernant la transformation de Fourier.
Nous commençons par définir cette transformation pour toute fonction de L_1(\R).
Nous avons établi les premières propriétés fondamentales : application linéaire continue de L_1 dans L_\infty, de norme inférieure ou égale à 1.
Nous avons traité les premiers exemples importants : fonctions indicatrices d'intervalles, fonctions en escalier. Et nous avons pu constater que même pour des fonctions très simples, leur transformée de Fourier n'est pas une fonction de L_1. Exercice à revoir vous-mêmes : montrer que la fonction x \mapsto sin(x)/x n'est pas dans L_1.
Nous avons utilisé un argument de densité pour montrer que :
  1. La transformée de Fourier d'une fonction de L_1 tend vers 0 en + et - l'infini
Nous avons aussi observé que la transformée de Fourier d'une fonction de L_1 est une fonction continue sur \R.
Nous avons étudié la transformée de Fourier des fonctions continues sur \R, nulles en dehors d'un compact et C^1 par morceaux. Puis lorsque f et f' sont dans L_1, nous avons démontré la relation entre la transformée de Fourier de f' et celle de f.
Pour finir, nous avons observé que si la fonction f est continue sur \R, nulle en dehors d'un compact et affine par morceaux, alors sa transformée de Fourier est aussi une fonction de L_1
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Cours du vendredi 16 avril 2021.
Rappels sur le produit de convolution
Transformée de Fourier d'un produit de convolution.
Décryptage du spectre des fréquences
Première formule d'inversion de Fourier. Lorsque la fonction est continue sur R, bornée, intégrable sur R ET que sa transformée de Fourier est dans L_1, on a une formule explicite de la fonction en fonction de la transformée de Fourier de la transformée de Fourier.
Sous les mêmes hypothèses, on a prouvé la relation de Parseval.
La prochaine fois, on étend cette transformation de Fourier à toute fonction de L_2.
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Cours du vendredi 7 mai 2021.
Nous avons appelé X l'ensemble des fonctions continues sur R, bornées, intégrables sur R ET telles que sa transformée de Fourier est dans L_1.
Sur cet espace X, la première formule d'inversion de Fourier et la relation de Parseval sont vérifiées.
Nous avons passé une bonne partie du cours à expliquer comment définir la transformation de Fourier à toute fonction de L_2. Les étapes sont : comprendre que X est dense dans L_2, puis à partir de f dans L_2, trouver un procédé pour définir une suite de fonction dans X telle que sa transformée de Fourier définisse une suite convergente dans L_2.
Nous avons fini en expliquant pourquoi cette transformée de Fourier sur L_2 est inversible, et nous avons déterminé son inverse.
Nous avons expliqué un lien important entre la transformée de Fourier et les intégrales semi-convergentes.
Voici les notes de cours.
Vous pouvez voir l'enregistrement du cours ici .

Tutos du dimanche 16 mai 2021.
J'ai eu le temps d'enregistrer 2 tutos.
Le premier concerne la question de cours numéro 12 (à savoir refaire pour l'examen). Vous trouverez le lien vers le tuto ici.
Voici le fichier de notes.
Comme vous avez pu le constater, cette question de cours n'était qu'une partie de l'exercice 10. Dans le tuto suivant, vous trouverez la résolution de l'exercice 9 (et la fin du 10). Vous trouverez le lien vers le tuto ici.
Voici le fichier de notes.


Documents distribués en 2019-2020 :

Liste de questions de cours . Il y aura à chaque épreuve au moins une de ces questions. Le reste du cours est aussi à connaître parfaitement.
Feuille de TD 1 : Classiques
Feuille de TD 2 : Approximations de l'unité. Théorème de Weierstrass
Feuille de TD 3 : Inégalité de Bessel
Résumé du cours : Synopsis
Partiel du 23 mars : le sujet
Son corrigé pour faire votre auto-correction : à vous de jouer
Le programme de la semaine du 23 au 29 mars avec quelques rappels en dimension finie : à télécharger
Feuille de TD 4 : Produit scalaire et son corrigé
Le programme de la semaine du 30 mars au 5 avril : à télécharger
Feuille de TD 5 : Produit scalaire et son corrigé
Devoir sur les polynomes de Tchebychev et autres polynomes orthogonaux
Le corrigé du devoir sur les polynomes de Tchebychev et autres polynomes orthogonaux et un lien bien utile pour savoir beaucoup de chose concernant les polynomes de Tchebychev
Le premier cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le second cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le troisième cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le quatrième cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le cinquième cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Le sixème cours BigBlueBotton sur la transformée de Fourier
Feuille de TD 6 : Transformée de Fourier et son corrigé . Et la suite du corrigé . Encore une suite du corrigé
Et enfin, pour conclure, un retour à notre premier cours et à l'explication de la résolution de l'équation de la chaleur . C'est un des exemples phares de cette théorie de Fourier !

L'examen du 8 juin de 14h à 16h est ci-dessous :


Le sujet .

Documents distribués en 2018-2019 :


Voir le dossier Archives .